EJERCICIO 8.2-23

Un contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en uno al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en las respectivas construcciones 1, 2 y 3. El precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de acarreo son los siguientes:

	Costo por tonelada acarreada			Precio por ton.
Foso	1	2	3
Norte	$ 30	$ 60	$ 50	$ 100
Sur	$ 60	$ 30	$ 40	$ 120

La contratista desea determinar cuánto acarrear de cada foso a cada construcción de manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.

a) Formule el modelo de programación lineal. Use el método de la M para construir la tabla simplex inicial lista para aplicar el método simplex (pero no lo resuelva).

Determinamos el costo de la grava y su respectivo acarreo

	Costo por tonelada acarreada			Precio por ton.
Foso	1	2	3
Norte	$ 30+$100	$ 60+$100	$ 50+$100	$ 100
Sur	$ 60+$120	$ 30+$120	$ 40+$120	$ 120

	Costo por tonelada acarreada
Foso	1	2	3
Norte	$ 130	$ 160	$ 150
Sur	$ 180	$ 150	$ 160

	Costo por tonelada acarreada			toneladas ofertadas
Foso	1	2	3
Norte	$ 130	$ 160	$ 150	18
Sur	$ 180	$ 150	$ 160	14
necesidad	10	5	10

Se desea

introducimos las variables de holgura y las variables artificiales

Minimizar z es lo mismo que maximizar –z, por tanto:

Maximizar

it	ec	vbas	z	x11	x12	x13	x21	x22	x23	x7	x8	x9	x10	x11	LD
0	0	z	-1	130	160	150	180	150	160	0	0	M	M	M	0
	1	x7	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	18
	2	x8	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	14
	3	x9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	10
	4	x10	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	5
	5	x11	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	10

Para eliminar la M procedos mediante Gauss Jordan

it	ec	vbas	z	x11	x12	x13	x21	x22	x23	x7	x8	x9	x10	x11	LD
0	0	z	-1	130-M	160-M	150-M	180-M	150-M	160-M	0	0	0	0	0	-25M
	1	x7	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	18
	2	x8	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	14
	3	x9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	10
	4	x10	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	5
	5	x11	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	10

b) Ahora formule este problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. Compare el tamaño de esta tabla (y de la tabla símplex de transporte correspondiente) usada por el método símplex de transporte, con el tamaño de la tabla símplex del inciso a) necesaria para aplicar el método símplex.

(18+14)-(10+5+10)=7

c) La contratista ha observado que puede abastecer por completo las construcciones 1 y 2 del foso norte y la construcción 3 del foso sur. Utilice la prueba de optimalidad (pero no realice iteraciones) del método símplex de transporte para verificar si la solución BF correspondiente es optima.

Asignamos las cantidades demandas en las construcciones 1 y 2 desde el foso norte y a la construcción 3 desde el sur

En la columna ficticia asignamos las cantidades sobrantes

Creamos fila V(J) con los coeficientes de la fila con la mayor asignación, para este caso la fila 1, la cual se le han asignado 15 unidades, la fila dos solo se le ha asignado 10 unidades.

Para completar la tabla realizamos:

Dado los coeficientes negativos, podemos concluir que la solución brindada por la contratista no es la óptima.

d) Con la regla de la esquina noroeste, use la rutina interactiva del método símplex de transporte para resolver el problema formulado en el inciso b.

Partimos de la tabla en blanco, asignado las cantidades demandas a esquina noroeste

Partimos de X11

Si sobran recursos aplicamos Xi,j+1

Si no sobran recursos aplicamos Xi+1,j

Como en X11 asignamos 10 y tenemos 18 entonces, sobra 8 las cuales las debemos aplicar en X12 pero aquí solo podemos asignar 5, por lo tanto sobran 3 que asignamos a X13, al no sobrar asignamos en X23 con capacidad para 10 pero ya asignamos 3 por tanto asignamos los 7 restantes y como sobran 7 de los 14 ofertados los asignamos en X24. Al foso norte le hemos asignado 18 mientras que al sur le hemos asignado 14 por tanto asignamos 0 al U(i) de la fila norte y sus coeficiente a V(J).

Tenemos:

Para hallarlas resolvemos ecuaciones:

Al haber coeficientes negativos no es la solución óptima, por tanto iteramos

El mayor negativo -20 está en X22, y el menor positivo de las variables básicas es 5, por tanto lo trasladamos a la posición X22 y restablecemos valores en V(J) con los coeficientes de la fila donde está el mayor negativo, ubicamos U(i) = 0 en la fila.

Para hallar U(i)

Ahora debemos reajustar las columna 3 donde hemos asignado 10, los 8 restantes lo asignamos en la columna 3 fila 1.

En la fila 2 hemos asignado 5, disponemos de 9 para los 14, los cuales en la columna tres solo podemos asignar 2 para los 10, sobrando 7 que fueron asignado a la columna ficticia.